将来価値とは
現在、100万円を持っているとして年利3%で複利運用すると考えます。3年後にはいくらになっているでしょうか？年利が3%なので100万円を1年間運用すると103万円になります。複利運用の考え方では得られた利息も次の投資に回しますので、2年目はこの103万円を3%で運用することになります。3年目はさらに得られた利息を3%で運用しますので、3年後の運用の結果は以下の式で計算されます。
100万円 × (1 + 0.03) × (1 + 0.03) × (1 + 0.03) = 109.2727万円
この約109万円は初めに持っていた100万円から一切追加の資金を投入せずに得られるお金です。つまり、現時点で持っている100万円と3年後の109.2727万円は同じ価値であると考えることができます。このように、今持っているお金の将来のある時点での価値を将来価値（FV:Future Value）と呼びます。将来価値は一般に現在持っているお金がX円で金利がr%であるとき、以下の数式で計算されます。
FV = X × (1 + r)^n
現在価値とは
今すぐ100万円を受け取るかあるいは3年後に100万円を受け取るか選べる契約があるとします。先ほど説明した通り、現時点の100万円は金利が3%であれば3年後には109万円になる計算ですので、現時点の100万円を受け取る方がお得であることが分かります。それでは5年後に120万円を受け取れる契約と比べたらどうでしょうか？あるいは10年後に130万円ではどうでしょうか？すぐにどちらの方が自分にとってお得なのか判断することは難しいと思います。このようにお金はその金額そのもので価値が決まるのではなく、受け取る時間についても考慮する必要があるため、時間軸の異なるお金の価値の比較は難しいです。そこで、将来の価値を現時点の価格に置き換えたものを現在価値（PV:Present Value)と呼びます。
例えば、3年後に100万円受け取れる契約の現在価値を考えます。金利を3%とすると現在価値は次の計算式で計算されます。
PV × (1 + 0.03) × (1 + 0.03) × (1 + 0.03) = 100万円
PV = 100/(1 + 0.03)^3
PV = 91.51...
つまり現時点の91.51万円が3年後の100万円と等価であることを示しています。このように将来の価値を現在価値に割引くことで時間軸を揃えて価値の比較を容易にすることができます。
ディスカウントファクター
ディスカウントファクター（割引率）とは、将来のある時点における価値を1としたときの現在価値を表す数値のことです。一般的に金利は貸し手にとって受け取るはずのものなので、将来の元利金は現在の元本より大きいはずです。したがって将来の1の現在価値は1以下となるはずです。ただし、マイナス金利化においては将来の元利金が現在の元本を下回ってしまうということがありうるので、ディスカウントファクターも1を超えることがあり得ます。ディスカウントファクターは将来価値を現在価値で割ったものであり、以下の数式であらわされます。
PV = FV × DF
ディスカウントファクターの計算方法
それではディスカウントファクターは実際にはどのように計算したらよいのでしょうか？ディスカウントファクターは、ゼロクーポンレートから簡単に計算することができます。ゼロクーポンレートとは途中に利払いのないゼロクーポン債の金利のことを言います。途中に利払いがなく再運用のことを考える必要がないので、ディスカウントファクターはゼロクーポンレートから下記のようにして直接求めることができます。（ゼロクーポンレートをZ, ゼロクーポンレートの期間をT年としています）
DF = 1/{1 + Z/(1/T)}
この計算式を使って、例えば0.5年と1年のゼロクーポンレートがそれぞれ4%だったとするとDFは下記のとおりとなります。
DF(0.5年) = 1/(1+0.04/2) = 0.980392...
DF(1年) = 1/(1+0.04) = 0.961538...
DFは期間によって異なる値となります。0.5年後の将来価値を割り引く場合は0.5年のDFを、1年後の将来価値を割り引く場合は1年のDFを利用する必要があります。このように、ゼロクーポンレートが分かればその期間に対応するDFを簡単に計算することができます。しかし、残念ながらマーケットには流動性のある長期のゼロクーポン債はありません。そこで、長期のスワップレート等を利用して短い金利から半年ごとにディスカウントファクターを計算の中で積み上げていく方法（ブートストラップ法）でゼロクーポンレートを期間の短いものから順に算出する手法などが用いられています。
